好课推荐 | 冯琦：数理逻辑

2022年春季学期我们将迎来清华大学卓越访问教授冯琦讲授的《数理逻辑》课程~！欢迎大家报名参加~！

还不了解这门课的同学，让我们通过这篇推送，一起看看这是一门什么样的课程吧~

课程信息

课程编号：20690063

课程名称：数理逻辑

授课地点：清华学堂107

授课时间：周二 13:30 - 16:05

教师简介

冯琦，曾在新加坡国立大学、中科院数学所、中科院数学与系统科学研究院、清华大学数学系等任教，现任清华大学人文学院哲学系卓越访问教授。研究领域主要集中在集合论和数理逻辑。当前研究问题集中在物质分析基础和价值分析基础方面，是逻辑学、数学、哲学、经济学的交叉结合部分的问题，并涉及数学哲学以及科学哲学的基本问题。

《数理逻辑》课程纲要

本课程拟为一学期 16周48学时本科生选修课程。

本课程 旨在（用一个学期48学时，以最一般的方式，以纯粹抽象的思维形式）回答数学思考者是怎样针对自己感兴趣的数学结构，从特殊到一般，从具体到抽象，抓住它们的本质，形成统一的认识，从而不断获取新的知识，并且能够依照这些新的知识进一步准确无误地揭示和解释那些特殊的具体的数学结构所具有的各种深刻的数学性质。

大致地讲，数学中的一个结构无非就是 对于一个群体明确一组个体之间的相关状态； 数学思考者感兴趣的就是这个，乃至这一 类，相关群体中各个体在给定相关状态下所能展示出来的个性与共性。自然而然地，我们就面临一系列很基本的问题：都有一些什么样的相关状态？在这种相关状态下，我们所认识的这些（个别的，部分的，总体的）个体所具有的个性与共性该怎样表达？怎样判断？我们所表达的具有怎样的准确性？我们的判断具有怎样的正确性？我们的分析具有什么样的合理性？我们的分析又具有什么样的有效性？我们所具有的这些认识，该如何避免彼此冲突？该怎样统一？该怎样致臻完善？等等。这些问题的系统的答案就是一阶逻辑的内容 。

可以说， 一阶逻辑所处理的就是一阶数学结构与一阶数学语言表达式之间的严格的数学认识论关系。因此，在本课程中，我们将明确

(a)  表达式由简单到复杂的形式 合成规则；

(b)  表达式由简单到复杂的语义 解释规则；

(c)  表达式由简单到复杂的真假 判定规则；

(d)  表达式由此及彼的 导出法则；

以及上述这些规则和法则应当具有的 一致性、合理性、有效性、完备性。

具体而言，本课程将由如下几个部分组成：

(1)  从结构到认识，一阶语言表达式（语法抽象），语法规则，唯一可读性，自由变量与受囿变量，可替换性；

(2)  从抽象认识到结构内涵，一阶语言表达式之解释（语义内涵），合理性以及真假断定，重言式（恒真表达式）与逻辑结论；

(3)  一阶结构之间的逻辑关系：同构，同样，同质嵌入，同质子结构，可定义性，塔尔斯基特征定理，罗文海-斯科伦定理；几个例子（自然数、整数、有理数、实数之典型结构，可数线性序，康托同构定理）；

(4)  数学推理：命题演算，一阶逻辑公理及推理规则，演绎定理，一般化原理，数学证明及有效性定理，数学理论，和谐理论，理论之模型，数论及其标准模型，代数封闭域理论及其经典模型；

(5)  一阶逻辑之完备性：亨钦性质，扩展引理，哥德尔完备性定理；柯瑞格插入定理（消除无关符号）；

(6)  一阶逻辑之有限特性：紧致性定理及其应用（非标准数论模型，任意有限与无穷，秩序之二阶本质，型省略定理，可数唯一性定理，数论之复杂性）；

(7)  数学理论之完全性：完全理论与非完全理论的例子，量词消去法，模型完全性，同质子模型增链序列；

(8)  超幂与非标准模型：超幂构造与超幂定理，非标准数论模型。

补充说明

鉴于这门课将面向所有对逻辑有兴趣的学生开放，现就本课程的内容与课堂讲解方式补充说明如下：

课程主要内容如纲要所写。但是会兼顾哲学与数学两个不同方向。对哲学而言，本课程将重在“系统性抽象表示”，即在固定目标对象范围内如何解决归纳-抽象构成一种结构的思考过程；对于数学而言，本课程讲重在“系统性可定义性”分析，即在同类数学结构上讨论哪些是结构之上可定义的对象问题。尽管字面上“抽象表示”与“可定义性”似乎没有多大区别，但是，核心区别在于如何确定原始事实的真假。就数学而言，集合论是基础，有关数学结构的原始命题的真假判定问题被置放在集合论内求解；对哲学而言，原始命题的真假判定则必须依赖实际需求，并没有统一的形式语义表示框架，除非所设计的具体领域相关的事物能够抽象地在集合论中得到合适的解释。因此，我们将明确这种区别所在，并在各自预设的基本真实性判定的基础上展开分析。这就意味着我们需要在课程进展中兼顾哲学思维与数学思维的需求，不断地在两种环境下切换关注的重点。最后，在考核时，同样将兼顾两种思维的基本特点，以两种不同的形式来考核同样的内涵，因为最终是从不同的角度以不同的目标重点看待同样的事物。

课前访谈

问题1：“我感觉自己缺乏逻辑思维，写文章没有逻辑，这门课对我会有帮助吗？”

这是一个很有趣的问题。但是，这门课的目标是一阶逻辑的内涵以及如何使用这门被证明为完备的工具。课程与问题1直接相关的地方是 有可能对缺乏的逻辑思维进行一种训练补缺，以及掌握一种从系统与整体的角度看事物的本领，或许这对文章 写作的逻辑思维亦有所帮助。

问题2：“我没有任何逻辑基础，可以参与并完成这门课程吗？”

数理逻辑这门课本就是被设置来提高逻辑思维能力、系统思维能力以及质疑思维能力的， 所以这门课并不对逻辑基础程度如何有预设。这一问题的结论部分是一个过程问题，因人而异。但我相信只要认真付出，参与课程的过程就是将你的逻辑基础从无到有的树立过程。

问题3：“作为任课老师，希望同学们通过这门课程获得什么？”

基本想法是通过这门课，同学们通过掌握一阶逻辑的基本内容增强自己的 系统思维能力、逻辑思维能力以及质疑思维能力，让自己变得更加思维清晰、更加敏锐、更加 欣赏形式与内涵的对立统一、更加 欣赏各种真理的内涵以及提高自己自觉运用逻辑去解决实际的具体的问题的本领。

课程大致时间安排如下 :

(1)  命题逻辑，2周；6小时；

(2)  一阶语言与一阶结构，2周；6小时；

(3)  一阶结构之间的同构、同样与同质 ，2周；6小时；

(4)  一阶逻辑核心概念以及完备性，3周；9小时；

(5)  一阶理论完全性与紧致性，3周；9小时；

(6)  一阶模型上的可定义性分析，3周；9小时；

(7)  一阶理论之可判定性，1周；3小时。

课程讲义：将随课程进程，分发相关部分的讲义。

课程教材及参考书目 :

[1]《基本逻辑学》，冯琦，科学出版社，2020

[2]《数理逻辑导引》，冯琦，科学出版社，2017